Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

Вычислять функции Эйри.

Вычислять функции Бесселя разного рода.

Вычислять бета-функцию и ее варианты.

Использовать эллиптические функции и интегралы.

Вычислять функции ошибки.

Вычислять интегральные показательные функции.

Вычислять гамма-функцию и ее варианты.

Использовать ортогональные полиномы Лежандра.

Эллиптические функции и интегралы

Эллиптические функции Якоби определяются интегралом и соотношениями

Функции Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Функции Эйри

Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения вида

Функции ошибки

Функция ошибки определяется следующим образом:

erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X. Дополнительная (остаточная) функция ошибки задается соотношением

erfc(X) — возвращает значение остаточной функции ошибки.

erfcx(X) — возвращает значение масштабированной остаточной функции ошибки. Эта функция определяется так:

егfсх(х) = е х erfc(x).

erfinv(Y) — возвращает значение обратной функции ошибки для каждого элемента массива Y. Элементы массива Y должны лежать в области -1<Y<1. Примеры:

» Y=[0.2,-0.3];a=erf(Y)

а =

0.2227 -0.3286

» b=erfc(Y)

b =

0.7773 1.3286

» c=erfcx(Y)

с =

0.8090 1.4537

» d=erfinv(Y)

d =

0.1791 -0.2725

При вычислении данных функций используется аппроксимация по Чебышеву (см. детали алгоритма в Reference Book no MATLAB).

Гамма-функция и ее варианты

Гамма-функция определяется выражением

Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция определяется следующим образом:

Ортогональные полиномы Лежандра

Функция Лежандра определяется следующим образом:

Пример S=airy(D)

Пример 1

D=
1.0000 3.0000 + 2.00001
» S=airy(D)
S =
0.1353 -0.0097 + 0.00551

raquo; format

Пример 1

& raquo; format rat;beta((l:10) 4 ,4)
ans=
1/4
1/20
1/60
1/140
1/280
1/504
1/840
1/1320
1/1980
1/2860

Полные эллиптические интегралы первого

Пример 1

» [SN.CN.DN]=ellipj([23.1].[0.5.0.2])


	SN =
	474/719	1224/1481
	CN =
	1270/1689	1457/2588
	DN =
	399/451	538/579

Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом:

Для вычисления этой функции используется

Пример 1

» d=expint([2,3+7i])
d =
0.0489 -0.0013 -0.00601
Для вычисления этой функции используется ее разложение в ряд.

Пример g=rand(3.2)

Пример 1

» g=rand(3.2);legendre(3,g)


-0.4469	-0.0277	0.1534
-0.0558	1.4972	-2.0306
5.4204	0.2775	4.0079
-10.5653	-14.9923	-2.7829

ans(:.:.2) =
-0.4472-0.34040.0538
0.0150 -1.0567 -1.9562
5.3514 5.7350 4.4289
-10.7782 -7.3449 -3.4148

Для вычисления этих функций используется

Пример 2

» [f.e]=ellipse([0.2.0.8])
f =
707/426 1018/451
е =
679/456 515/437
Для вычисления этих функций используется итерационный метод арифметико-геометрического среднего (см. детали в Reference Book по системе MATLAB).

Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Рис. 9.1. Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Эти графики дают наглядное представление о поведении функций Бесселя, широко используемых при анализе поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

иллюстрирует построение...

Рис. 9.1 иллюстрирует построение четырех функций Бесселя bessel j(n,x) для п-0, 1, 2 и 3 с легендой, облегчающей идентификацию каждой кривой рисунка.

График гамма-функции

Рис. 9.2. График гамма-функции

Это можно осуществить с помощью следующего файла-сценария:

%Gamma function graphicclear syms x

ezplot(gamma(x).[-4 4]) grid on

Гамма-функция вычисляется по известному алгоритму W. J. Kody (1989 г.). Для вычисления неполной гамма-функции используются рекуррентные формулы.

Специальные математические функции

Урок 9. Специальные математические функции Функции Эйри Функции Бесселя Бета-функция и ее варианты Эллиптические функции и интегралы Функции ошибки Интегральная показательная функция Гамма-функция и ее варианты Ортогональные полиномы Лежандра Что нового мы узнали?