Бета-функция и ее варианты

Бета-функция определяется как

где Г (z) — гамма-функция. Неполная бета-функция определяется по формуле

beta(Z.W) — возвращает бета-функцию для соответствующих элементов комплексных массивов Z и W. Массивы должны быть одинакового размера (или одна из величин может быть скаляром).

beta i nc ( X , Z , W ) — возвращает неполную бета-функцию. Элементы X должны быть в закрытом интервале [0, 1].

beta 1 п ( Z , W ) — возвращает натуральный логарифм бета-функции log ( beta ( Z , W ) ) , без вычисления beta(Z.W). Так как сама бета-функция может принимать очень большие или очень малые значения, функция betaln(Z.W) иногда более полезна, так как позволяет избежать переполнения.

Пример:

» format rat;beta((l:10)

4

,4) 

ans=

1/4

1/20

1/60

1/140

1/280

1/504

1/840

1/1320

1/1980

1/2860

Функции Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где v — неотрицательная константа, называется

уравнением Бесселя,

а его решения известны как

функции Бесселя.

Функции J

v

(z) и J_

v

(z) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений п (это так называемые

функции Бесселя первого рода):

где для гамма-функции используется следующее представление:

Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J

v

(z), определяется как

и задает

функции Бесселя второго рода

Y

v

(z).

Функции Бесселя третьего рода

(функции Ханкеля) и функция Бесселя первого

и второго рода связаны следующим выражением:

bessel j(nu,Z) — возвращает функцию Бесселя первого рода, J

v

(z), для каждого элемента комплексного массива Z. Порядок ш может не быть целым, однако должен быть вещественным. Аргумент Z может быть комплексным. Результат вещественный, если Z положительно. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если любая входная величина — скаляр, результат расширяется до размера другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

bessely(nu.Z) — возвращает функцию Бесселя второго рода, Y

v

(z).

  [J.ierr] = besse1j(nu,Z) и [Y.ierr] = bessely(nu.Z) функции всегда возвращают массив с флагами ошибок:

 ierr = 1 — запрещенные аргументы;

ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

 ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

Примеры:

» S=[2-51.4.7];T=[8.l.3]:g=besselj(T,S)

g=

0.1114-0.05081 -0.0660 -0.1676 

» S-[2-5i,4.7];T=[8.1.3J;[g.ierr]=bessely(T,S) 

g=

0.1871 - 0.03241 0.3979 0.2681 

ierr =

0 0 0

 besselh(nu,К,Z) — для К=1 или 2 возвращает функцию Бесселя третьего рода (функцию Ханкеля) для каждого элемента комплексного массива Z. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если одна из входных величин — скаляр, результат формируется по размеру другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

bessel h(nu.Z) — использует по умолчанию К = 1. 

besselh(nu.l.Z.l) — масштабирует H

(1)

v

(z) с коэффициентом exp(-i*z). 

besse1h(nu,2,Z.l) — масштабирует H

(2)

v

(z) с коэффициентом exp(+i*z). 

[H.ierr] = besselhC...) — всегда возвращает массив с флагами ошибок:



ierr = 1 — запрещенные аргументы;

 ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

 ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

» D=[1.3+2i];F=[3.2]:[K.ierr]=besselk(F,D) 

К =

7.1013 -0.0401 - 0.02851

 lerr =

0 0

Естественно, что возможно построение графиков специальных функций.







В качестве примера рассмотрим m-файл-сценарий, приведенный ниже:

х=0:0.1:10;

y0=besselj(0.x);

y1=besselj(1.x):

y2=besselj(2.x);

y3=besselj(3.x);

plot(x,y0,.'-m',x,y1,'-r',x,y2,'-.k',x,y3,'-b')

legend('besselj(0.x)'. 'besselj(l.x)' ,'besse1j(2,x)'.

(

besselj(3,x)');

Рис. 9.1 иллюстрирует построение четырех функций Бесселя bessel j(n,x) для п-0, 1, 2 и 3 с легендой, облегчающей идентификацию каждой кривой рисунка.







Рис. 9.1.



Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Эти графики дают наглядное представление о поведении функций Бесселя, широко используемых при анализе поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. 

Функции Эйри

Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения вида

Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается следующей формулой:

где

airy(Z) — возвращает функцию Эйри, AKZ), для каждого элемента комплексного массива Z;

airy(k.Z) — возвращает различные варианты результата в зависимости от значения k:

k=0 — тот же результат, что и airy(Z);

k=1 — производную от А1 (Z);

k=2 — функцию Эйри второго рода, 61 (Z) :

k=3 — производную от B1(Z). Пример:

D=

1.0000 3.0000 + 2.00001

» S=airy(D) 

S =

0.1353 -0.0097 + 0.00551

Функции ошибки

Функция ошибки определяется следующим образом:

erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X. Дополнительная (остаточная) функция ошибки задается соотношением

erfc(X) — возвращает значение остаточной функции ошибки.

erfcx(X) — возвращает значение масштабированной остаточной функции ошибки. Эта функция определяется так:

егfсх(х) =

е

х

erfc(x).

erfinv(Y) — возвращает значение обратной функции ошибки для каждого элемента массива Y. Элементы массива Y должны лежать в области -1<Y<1. Примеры:

» Y=[0.2,-0.3];a=erf(Y)

 а =

0.2227 -0.3286

» b=erfc(Y) 

b =

0.7773 1.3286

» c=erfcx(Y) 

с =

0.8090 1.4537

» d=erfinv(Y) 

d =

0.1791 -0.2725

При вычислении данных функций используется аппроксимация по Чебышеву (см. детали алгоритма в Reference Book no MATLAB).

Гамма-функция и ее варианты

Гамма-функция определяется выражением

Неполная гамма-функция определяется как

gamma (А) — возвращает гамма-функцию элементов А. Аргумент А должен быть вещественным.

gamma iпс(X,А) — возвращает неполную гамма-функцию соответствующих элементов X и А. Аргументы X и А должны быть вещественными и иметь одинаковый размер (или любой из них может быть скалярным).

gammaln(A) —возвращает логарифмическую гамма-функцию, gammaln(A) = 1og(gamma(A)). Команда gammaln позволяет избежать переполнения, которое может происходить, если вычислять логарифмическую гамма-функцию непосредственно, используя 1og(gamma(A)).

Примеры:

» f=[5.3];d=gamma(f)

 d =

24 2 » h=gammaln(f) 

h =

3.1781 0.6931

Гамма-функция имеет довольно сложный», график, заслуживающий построения (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

График гамма-функции

Это можно осуществить с помощью следующего файла-сценария:

%Gamma function graphicclear syms x

ezplot(gamma(x).[-4 4]) grid on

Гамма-функция вычисляется по известному алгоритму W. J. Kody (1989 г.). Для вычисления неполной гамма-функции используются рекуррентные формулы.

Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция определяется следующим образом:

expint(X) — возвращает интегральную показательную функцию для каждого

элемента X. Пример:

» d=expint([2,3+7i]) 

d =

0.0489 -0.0013 -0.00601

Для вычисления этой функции используется ее разложение в ряд.

Эллиптические функции и интегралы

Эллиптические функции Якоби определяются интегралом

и соотношениями

сn(u) = cos ф,

cn(u)=cosф,

dn(u) = (1-sin

2

ф)

1/2

, 

аm(u) = ф.

В некоторых случаях при определении эллиптических функций используются модули k вместо параметра гл. Они связаны выражением

k = т =

sin a .

[SN.CN.DN] = ellipj(U.M) — возвращает эллиптические функции Якоби SN, CN и . DN, вычисленные для соответствующих элементов — аргумента U и параметра М. Входные величины U и М должны иметь один и тот же размер (или любая из них может быть скаляром).

[SN.CN.DN] = ellipj(U,M,to1) — возвращает эллиптическую функцию Якоби, вычисленную с точностью tol . Значение tol по умолчанию — eps; его можно увеличить, тогда результат будет вычислен быстрее, но с меньшей точностью. Пример:

» [SN.CN.DN]=ellipj([23.1].[0.5.0.2])

		SN =
		474/719		1224/1481
		CN =
		1270/1689		1457/2588
		DN =
		399/451		538/579

Полные эллиптические интегралы первого и второго рода

определяются следующим образом:

ellipke(M) — возвращает полный эллиптический интеграл первого рода для элементов М.

[К.Е] = ellipke(M) — возвращает полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

[К.Е] = ellipke(M.tol) — возвращает эллиптические функции Якоби, вычисленные с точностью tol. Значение по умолчанию — eps; его можно увеличить, тогда результат будет вычислен быстрее, но с меньшей точностью. Пример:

» [f.e]=ellipse([0.2.0.8])

 f =

707/426 1018/451

 е =

679/456 515/437

Для вычисления этих функций используется итерационный метод арифметико-геометрического среднего (см. детали в Reference Book по системе MATLAB).

Ортогональные полиномы Лежандра

Функция Лежандра

определяется следующим образом:

где Рn(*) —

полином Лежандра

степени

п,

рассчитываемый как

legendre(n.X) —возвращает функции Лежандра степени п и порядков m = 0,1..... n, вычисленные для элементов X. Аргумент п должен быть скалярным целым числом, не превосходящим 256, а X должен содержать действительные значения в области -UxJl. Возвращаемый массив Р имеет большую размерность, чем X, и каждый элемент P(m+l,dl,d2...) содержит связанную функцию Лежандра степени п и порядка т, вычисленную в точках X(dl,d2...).

1egendre(n,X, 'sch') — возвращает

квазинормализованные

по Шмидту функции Лежандра.

Пример:

» g=rand(3.2);legendre(3,g)

		-0.4469		-0.0277		0.1534
		-0.0558		1.4972		-2.0306
		5.4204		0.2775		4.0079
		-10.5653		-14.9923		-2.7829

ans(:.:.2) =

-0.4472-0.34040.0538

0.0150 -1.0567 -1.9562

5.3514 5.7350 4.4289

-10.7782 -7.3449 -3.4148

---

---